Cool Magic Square Trick

Today I will talk about a very exciting and cool trick regarding magic square. Once you learn this trick, everybody will definitely acknowledge you as a great math magician 😉
Let’s get started then,
First choose a participant. Ask him/her to select a 2 digit number between 22 and 99. Suppose he choses the number 50. Now I will construct a 4×4 magic square with different unique numbers and make him/her believe that I’m the greatest math magician 😀
I will now take a pen and paper, draw a 4×4 grid and fill up the grid with some random numbers like this :
Capture.JPG
Well see, every number is random and unique. If you calculate the sum of every column or every row, even the diagonals, you will see the sum is 50 ! And that is your chosen number. If you take the sum of the numbers of the 4 corners, it will be 50 ( 30+7+4+9 = 50 ).
if you take any 4 square inside the grid, the summation of numbers there will be 50. Don’t believe? Check yourself 😛
Capture.JPG
Ok, but the trick doesn’t end here actually. If you take any 9 square (3×3) and take the summation of 4 corners for that square, the sum will also be 50 !
Capture.JPG
Check the red colored tiles and see the magic yourself. Cool , right? And I can do this all
day with different numbers 😉
And even this is also possible:
Capture.JPG
The red and blue tiles sum is also 50! Well there are 28 different combinations where we can get the desired value.
Okay, let’s reveal the trick behind the scene. First think of your magic square like this in your mind:
Capture.JPG
These four blocks are our magic blocks that will determine the outcome. Remember this by heart and randomly place numbers to other 12 blocks to confuse your partner. But you aren’t doing it randomly, are you? 😉 The greater the magician, the innocent he looks, so you have to be really smart and innocent to pull this off 😛
Well, just fill the 12 blocks like this each and everytime:
Capture.JPGYou can remember this through some practice of course. Well it is essential for every magician to practice, so it’s alright for you to do so. Look we didn’t fill up the A, B, C, D blocks. We only placed the numbers from 1 to 12 here. And remember, everytime these 12 numbers have to be placed like this exactly. Now we will fill up the 4 magic blocks with four different magic numbers. How we will generate these magic numbers? Here is the answer:
A : Subtract 20 from the given number. The number given was 50. So I get 50 – 20 = 30 for the block A.
B : 
Subtract 1 from A, so we get 30 – 1 = 29.
C : Add 2 with A, so we get 30 + 2 = 32 for C.
D : Add 1 with A, so we get 30 + 1 = 31 for D.
Thank you for reading this. Hope you enjoyed all.

Magic Square Part – 2

আগের পর্ব ঃ part – 1

জোড় সংখ্যক গ্রিডের ম্যাজিক স্কয়ার সমাধান ( Solving Even-Numbered Magic Square )

প্রথমে আমরা সহজভাবে দেখি। আমরা এখন যেটি দেখবো সেটি হল ডাবল-জোড় সংখ্যক গ্রিড এর জন্য। ডাবল-জোড় কি? ( Doubly Even ) ডাবল-জোড় হল, যে জোড় গ্রিড ভাঙলে আবার জোড় গ্রিড পাওয়া যায়। যেমন ঃ ৪, ৮, ১৬… আবার, ৬, ১২, ১৪… এসব হবে সিঙ্গেল-জোড় গ্রিড এর মেথড এ। আমরা পরে আলোচনা করবো এটি নিয়ে। আপাতত ডাবল-জোড় দেখি।

প্রথমেই আমরা ম্যাজিক কন্সটেন্ট বের করি। ধরি গ্রিড 4×4,
সুতরাং, [  4 * ( 42 + 1 ) ] / 2 = [ 4 * 17 ] / 2 = 34

প্রথম ধাপ ঃ গ্রিড এর ৪ টি কোনাতে আমরা N/4 সাইজের ঘর মার্ক করে রাখবো।
4×4 এর জন্য মার্ক করা ঘরের সাইজ ঃ 1×1
8×8 এর জন্য মার্ক করা ঘরের সাইজ ঃ 2×2
12×12 এর জন্য মার্ক করা ঘরের সাইজ ঃ 3×3
1.JPGদ্বিতীয় ধাপঃ এবার আমরা মাঝাখানের ঘরগুলি, যেগুলি চার কোনার সাথে কানেক্টেড আছে, তাদের মার্ক করবো এভাবে ঃ 1.JPG
তৃতীয় ধাপঃ এবার আমরা মার্ক করা ঘরগুলিতে সংখ্যা বসাতে থাকবো। যে যেই ঘরে বসবে ( ১ থেকে শুরু করে ) তাকে সেই ঘরে বসিয়ে দিবো এভাবে ঃ
1চতুর্থ ধাপঃ এবার আমরা যেসব ঘর মার্ক করা নেই, সেগুলোতে বাকি সংখ্যাগুলি বসিয়ে দিবো রিভার্স অর্ডার এঃ
1.JPG
আমরা হিসাব করে দেখবো যে, সকল সারি, কলাম, কর্ণ বরাবর যোগফল ৩৪ হচ্ছে ( ম্যাজিক কন্সটেন্ট )।
একটি ৮x৮ এর জন্য দেখা যাক –>
1.JPG এখানে ম্যাজিক কন্সটেন্ট ঃ ২৬০

এবার আমরা দেখবো সিঙ্গেল-জোড় সংখ্যার জন্য। ( Single-Even ) সিঙ্গেল-জোড় হল এমন সংখ্যার গ্রিড যা ২ দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু ৪ দিয়ে নয়। প্রথম সিংগেল-জোড় হল ৬x৬, কারন ২x২ ম্যাজিক স্কয়ার সম্ভব নয়।আমরা এখন এরকম গ্রিড এর জন্য দেখবো কিভাবে মানগুলি বসাতে হবে।
ম্যাজিক কন্সটেন্ট, c = [  6*( 6*6+1 ) ] / 2 = 222/2 = 111
1
প্রথমে আমরা ৬x৬ গ্রিড টিকে এভাবে চারভাগে চাগ করবো। এবার আমরা এই চার ব্লকে আমাদের নাম্বারগুলি বসাবো এভাবেঃ A ব্লকের রেঞ্জ হবে ১-৯, B ব্লকের রেঞ্জ হবে ১৯-২৭, C হবে ২৮-৩৬ এবং D হবে ১০-১৮। এরপরে আমরা ৩x৩ যেভাবে সল্ভ করেছি, সেইভাবে মানগুলি বসাবো।
1.JPG
এবার আমরা প্রতি ব্লকের জন্য মানগুলি বসাবো। প্রতি ব্লকের ১, ১০, ১৯, ২৭ এগুলোকে ১ ধরে আমরা আমাদের ৩x৩ ম্যাজিক স্কয়ার কমপ্লিট করবো। মান বসানোর সময় আমরা শুধুমাত্র ৩x৩ গ্রিডই বিবেচনা করবো।
1.JPG
আমাদের কাজ এখনও শেষ হয়নি। সিঙ্গেল-জোড় এর ক্ষেত্রে এই পার্টটি গুরুত্বপুর্ণ। আমরা কয়েকটি ঘর মার্ক করবো এবং কিছু ঘরের সাথে এক্সচেঞ্জ করবো এভাবেঃ
1.JPG
মার্ক করা ঘরগুলি আমরা এক্সচেঞ্জ করবো, তাহলেই আমাদের কাজ শেষ।
1.JPGএভাবে সবসময়, A এবং C ব্লকের মাঝে এক্সচেঞ্জ করতে হবে।
৬ এর থেকে বড় গ্রিড এর জন্য আমাদের A,C ছাড়াও B,D এর মাঝেও এক্সট্রা এক্সচেঞ্জ করতে হবে সেইম ১-১ মেথড এ, নিচের ছবিটি দেখলে আশা করি বুঝা যাবে ঃ
1.JPG
১৪x১৪ ঃ এক্সচেঞ্জ এর আগে।

2.JPG
১৪x১৪ ঃ এক্সচেঞ্জ এর পরে।

এবার একটি মজার ট্রিক ঃ magic square trick

Magic Square Part – 1

ম্যাজিক স্কয়ার কি? ( What is Magic Square? )

একটি  N x N ২ডি গ্রিড এ 1 থেকে N পর্যন্ত সংখাগুলোকে প্রতিটি কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে এমনভাবে সাজাতে হবে, যাতে ঐ গ্রিড এর প্রতিটি সারি, কলাম এবং কর্ণ গুলির যোগফল সমান হয়। এখন এরকম অনেকরকম সাজানো যেতে পারে, আমাদের এমন একটি স্টেট বের করতে হবে, যেটায় এই যোগফল সবচেয়ে কম হয়।

ম্যাজিক কন্সটেন্ট ( Magic Constant )

ম্যাজিক কন্সটেন্ট হল সেই সর্বনিম্ন সংখ্যা যেটা আমাদের গ্রিড এর জন্য বের করতে হবে। এখন গ্রিড N x N হলে,
ম্যাজিক কন্সটেন্ট, c = N * [ ( N2 + 1 ) / 2 ]
সুতরাং, N = 3 হলে, c = 3 * [  ( 9 + 1 ) / 2 ] = 3 * [ 10 / 2 ] = 3 * 5 = 15
কাজেই সব সারি, কলাম, কর্ণ এর যোগফল অবশ্যই ১৫ হতে হবে।

বেজোড় সংখ্যক গ্রিডের ম্যাজিক স্কয়ার সমাধান ( Solving Odd-Numbered Magic Square )

 প্রথম ধাপ ঃ গ্রিড এর প্রথম সারির একদম মাঝের কলামে ১ বসাই।

1
আমরা একটি 3 x 3 গ্রিড এর জন্য করবো। 7 x 7 এর জন্য 4th কলামে আমরা 1 বসাবো, এরকমভাবে।
বেজোড় সারি-কলামের ক্ষেত্রে আমরা সবসময় এভাবে শুরু করবো।
দ্বিতীয় ধাপঃ আমরা সবসময় sequencially ১ থেকে n পর্যন্ত বসাবো। এখন, ১ বসানোর পরে আমরা একবার কলাম, একবার সারি, এভাবে ধাপে ধাপে সিরিয়ালি বসাবো। নিচের উদাহরন দেখলে বিষয়টা বুঝা যাবেঃ
2
২ আমরা এভাবে বসাবো। ১ এর ঠিক পরের কলাম এবং সবার শেষের সারিতে ২ বসবে। এরপরে আমরা বাকি সংখ্যাগুলি ২ এর পরের কলাম, এবং আগের সারিতে, এভাবে বসাবো। অর্থাৎ আমরা নিচ থেকে উপরে উঠবো। এখন কথা হচ্ছে, ২ এর পরে আর কলাম নেই, এটা একটি ব্যাতিক্রম। এরকম ৩ ধরনের ক্ষেত্র আছে, যেগুলি একটু খেয়াল করলে আমরা সহজে হ্যান্ডেল করতে পারবো।
প্রথম ব্যাতিক্রমঃ আমরা এখন হিসাব অনুযায়ী ৩ নং কলাম এবং ২ নং সারিতে যাবো। কিন্তু আমাদের এটি গ্রিড এর বাইরে, কাজেই আমাদের ঐ সারিতে থাকবো ঠিকই, কিন্তু ডান দিকে না গিয়ে আমরা একদম সবচেয়ে বামদিকের ঘরে বসাবো।
3

ছবি দেখে আমরা বুঝতে পারবো ব্যাপারটা। ৩ এর জন্য ঘর গ্রিড এ নাই, কাজেই আমরা ২ নং সারিতে থাকবো ঠিকই, কিন্তু, একদম বামে চলে যাবো, আসলে ব্যাপারটা ঠিক বামে না, আমাদের যে দিকে যাবার কথা, তার বিপরীত দিকে যাবো। কাজেই কলাম ১ এ চলে আসলাম।
দ্বিতীয় ব্যাতিক্রমঃ
এখন আমাদের ৪ বসানোর জন্য আবার ঝামেলায় পরে গেলাম। আমাদের উপরের সারিতে এবং পরের কলামে যাওয়ার কথা, কিন্তু সেখানে আগে থেকেই ১ আমরা লিখে রেখেছি। এরকম অবস্থা হলে সেটি হল দ্বিতীয় ব্যাতিক্রম। এজন্য আমরা যেখানে বর্তমানে আছি, তার ঠিক নিচের সারিতে পরের মান বসাবো, এক্ষেত্রে কলাম একই থাকবে। অর্থাৎ ৪ কে আমরা ৩ এর নিচে বসাবো এভাবে ঃ
4.JPG
এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি আমাদের মূল যেভাবে বসানোর কথা ছিল, আমরা সেরকম পথ পেয়ে গেছি 😀 । কাজেই আমরা ৪ থেকে উপরের সারি, পরের কলাম, এভাবে বাকি সংখ্যাগুলি বসাতে থাকবো যতক্ষন কোন ব্যাতিক্রম না পাই। অর্থাৎ ঃ
5এখন আমরা ৭ বসানোর জন্য দেখি যে একটি ব্যাতিক্রম হয়ে গেছে। হিসাব অনুযায়ী গ্রিডের বাইরে চলে যায়, এখন আমাদের এটা ১ নং ব্যাতিক্রমের মধ্যে পরে, কিন্তু যেহেতু, ৬ এর নিচে খালি একটি ঘর আছে, কাজেই, এটি আসলে ২ নং ব্যাতিক্রম। তাই আমরা ৬ এর ঠিক নিচে ৭ কে বসাবো এভাবে ঃ
6.JPG

এখন আমরা খেয়াল করলে দেখবো এখানে আসলে ১ নং ব্যাতিক্রমটি হয়েছে, কারন ৭ এর নিচে ঘর ফাঁকা নেই, আবার গ্রিড এর বাইরেও চলে যাচ্ছে। তাই আমরা উপরের সারির সবচেয়ে বামদিকে পরের সংখ্যাকে বসাবো এভাবে ঃ
7.JPG

তৃতীয় ব্যাতিক্রমঃ এখন আমরা আসি ৩ নং ব্যাতিক্রম এ। এটি আসলে এমনিতেই বুঝা যায়, আমাদের হিসাবে এখন যাওয়ার কথা উপরে, কিন্তু গ্রিড এর বাইরে হওয়াতে আমরা দেখবো ৮ এর নিচে ফাঁকা ঘর আছে কিনা, ফাঁকা নেই, কাজেই হিসাব মত আমাদের সবচেয়ে বামের ঘরে ব্যাতিক্রম ১ অনুযায়ী মান বসানোর কথা, কিন্তু এটিও গ্রিড এর বাইরে  -_- । এটিই আমাদের ৩নং ব্যাতিক্রম। এক্ষেত্রে আমাদের ঠিক পরের কলামের নিচ থেকে যে ঘর ফাঁকা পাবো, সেখানে মান বসায়ে দিবো।
Capture.JPG

সারি, কলাম, কর্ণ সকল ক্ষেত্রে যোগফল ১৫ এসেছে, কাজেই আমাদের উদ্দেশ্য সফল। এভাবে আমরা যেকোন বেজোর সংখ্যক গ্রিড এর জন্য ম্যাজিক স্কয়ার বানাতে পারবো।
 ** ৭ এর জন্য আমরা একটি ম্যাজিক স্কয়ার দেখি ঃ
এক্ষেত্রে ম্যাজিক কন্সটেন্ট, c = 175
9.JPG
আমরা ঠিক 3×3 এর মত করে 7×7 গ্রিডটি সাজালাম। এখন সারি, কলাম, কর্ণ সব যোগ করে আমরা ১৭৫ পাবো 🙂
ইটারেশন গুলিতে বুঝতে সমস্যা হলে, হাতে কলমে এভাবে একটি করলেই আশা করি সবাই বুঝে যাবে।

এখন আমাদের লাগবে জোড় সংখ্যক গ্রিডের জন্য সমাধান। আমাদের প্রথমে ১ টি জিনিস দেখা লাগবে আগে, আমরা প্রথমে দেখবো যে গ্রিডটি কে ভাঙলে যে গ্রিড পাওয়া যায়, সেগুলি জোড় নাকি বেজোড়। ২ টির ভিন্নতার কারনে ভিন্ন ভিন্ন মান আসবে। আমরা ২ টির জন্যই দেখবো এখানে ঃ part – 2